Integrator
0%

SVD求解配准的推导过程

发表于 更新于 分类于 ，

配准误差函数 与 SVD + IQR 的完整推导

下面整理配准中计算推导过程，包含：平移 的消去（逐项展开并对 求导的详细步骤）、矩阵/范数形式的推导、SVD（Kabsch）求解旋转 的严格证明，以及 IQR 筛除离群点的直观解释与算法流程。

问题设定

给定两组对应点

  • 源点 ，
  • 目标点 ，

希望求刚体变换（旋转 与平移 ）：

使平方误差

最小。

在下文中， 通常取为正交矩阵（理想为 ，即 且 。
特殊正交群 (Special Orthogonal Group)

1. 消去平移 （逐项展开并对 求导）

这是把问题从同时求 化为先固定 求 ，再代回仅关于 的问题的标准做法。

1.1 逐项展开

对第 项展开：

把它展开为三项：

1.2 对所有点求和

（与无关）

注意最后一项合并为 ，因为 对每一项相同。

1.3 对 求导并令导数为零

使用向量求导规则：

  • ,
  • .

因此：

令导数为零得到最优 ：

将上式分离为质心形式：记

得到

这就是“消去平移”的结果：最优的平移等于把源点质心经 旋转后移到目标点质心。

1.4 代回得到中心化问题

用

将带入到可得

因此剩下的任务变为在去掉质心后的两组点上仅求旋转 以最小化上式。

2. 矩阵 / Frobenius 范数形式的推导

把点堆成矩阵（列为点）更紧凑：

  • 设 ,
  • ,
  • 为全 1 向量。

则总体误差写作 Frobenius 范数：

展开（使用 ）：

对 求导的快速方式：把 看作关于 的二次型，使用矩阵微分规则可得

注意 ，因此上式与逐项展开的结果一致，进而得到

3. 求解旋转 ：SVD（Kabsch/Procrustes）证明

在确定了最优平移后，问题变为最小化

目标是找到 （正交/旋转矩阵）使 最小。

3.1 把问题转化为最大化迹

展开平方和：

因此最小化 等价于最大化

定义交叉协方差（或交叉矩阵）

3.2 对 做 SVD

设

其中 （正交矩阵），，。

3.3 用迹的不等式最大化

令 。由于 正交，则 也为正交矩阵，其对角元满足 。于是

上界在 时取到，这对应于

因此取

可以使 达到最大，从而 达到最小。

3.4 反射修正（保证 ）

若 ，则 包含一次反射（不是纯旋转）。为了保证 ，我们做标准修正：

这相当于将 的最后一个奇异值对应的符号做调整，从而避免反射并保持在旋转群内。

4. 的显式表达

总结前面单项展开得到的导数：

最优点处令其为零，得到 。

5. 离群点的影响与 IQR（四分位距）筛选的作用

5.1 最小二乘对离群点的敏感性

最小二乘目标是平方残差和：

离群点若使某些 非常大，则这些项按平方被放大，会主导总误差，导致最优解被少数异常值拉偏。

5.2 IQR 的基本思想

IQR 基于残差的分位数：计算残差集合的第一四分位数 （下四分位数：数据中 25% 的值）、第三四分位数 （上四分位数：数据中 75% 的值），四分位距 。常用的离群点阈值为

通常取 。超出该区间的残差被视为离群点并剔除。

5.3 IQR + SVD 的算法流程（常见实现）

  1. 初始化匹配：根据最近邻或特征匹配得到点对 （可能包含错误匹配）。
  2. 初始估计：可用简单的初始 （例如单位矩阵）或用全部点快速估计一次 （直接 SVD）。
  3. 计算残差：。
  4. IQR 筛选：计算 ，保留满足 的点（这些称为内点）。
  5. 用内点重算：对内点应用中心化 + SVD（Kabsch）得到新的 。
  6. 可选迭代：重复步骤 3–5，直到内点集稳定或 的变化小于阈值。

注意：IQR 筛选是一种简单且实用的预处理，它能在少数离群点存在时显著提升 SVD 解的稳健性。但它不是唯一或最优的鲁棒方法：可选替代包括 RANSAC、trimmed least squares、M-estimators（例如 Huber 损失）等。

5.4 简要的理论直观说明

若离群点集合 中的残差下界为很大的常数 ，那么离群点对总误差的贡献至少为 。当该量远大于内点误差和时，最小二乘会被迫优先降低离群点误差，从而牺牲对大多数点的拟合。IQR 通过剔除这些极端残差，使得 SVD 最小化的目标更贴近对大多数点的最佳拟合，从而提高鲁棒性。

6. 扩展与补充

  • 加权情形：若每对 有权重 ，则可用带权质心与加权协方差： 最优平移为 ， 仍可由加权 做 SVD 得到。

  • 其他鲁棒方法：RANSAC（随机采样一致性）在存在大量错误匹配时极其有效；M-estimator 通过修改损失函数减小大残差的影响；trimmed least squares 则直接在目标中剔除一定比例的大残差项并全局优化。

结论

  • 对 关于 求导并设导数为零可得到明确的闭式解 ，即最优平移把源点质心的变换结果对齐到目标质心。
  • 在去掉质心后，旋转 可通过最大化 来求解，使用 的 SVD（Kabsch 算法）给出解析解 （必要时修正避免反射）。
  • 当存在离群点时，直接最小二乘（L2）解容易被极端值主导。使用 IQR 进行残差筛除可以显著提高 SVD 求解的稳健性；更严谨或更鲁棒的替代方案有 RANSAC、M-estimators 等。

附录：常用矩阵/向量求导规则（本推导中用到）

  • （ 与 维度一致）
  • （矩阵导数规则，按需使用）
×